Cartografía y métodos · nivel técnico

Fórmula de Tobler.

Función de marcha (hiking function) de Waldo Tobler (1993)

Función exponencial publicada por el geógrafo estadounidense Waldo Tobler en 1993 que predice la velocidad de marcha por senderos en terreno accidentado según la pendiente; fuera de senda, el propio Tobler multiplica el resultado por 3/5. No deriva de la regla de Naismith: es un ajuste a los datos del cartógrafo suizo Eduard Imhof (1950).

La fórmula matemática

La función original publicada por Waldo Tobler en su informe técnico Three Presentations on Geographical Analysis and Modeling (NCGIA, 1993) tiene la forma exponencial:

W = 6 · exp(−3,5 · |S + 0,05|)

Donde W es la velocidad de marcha en kilómetros por hora y S es la pendiente expresada como fracción decimal (desnivel entre distancia horizontal). Si caminas en llano (S = 0), la velocidad teórica es W = 6 · exp(−3,5 · 0,05) ≈ 5,04 km/h. La fórmula tiene su máximo a una pendiente negativa de aproximadamente −5 % (ligera bajada), donde la velocidad es exactamente 6 km/h.

La elegancia matemática de Tobler reside en que captura tres comportamientos observados empíricamente: la velocidad cae rápidamente con la pendiente positiva, alcanza un máximo en bajadas suaves (donde la gravedad ayuda sin exigir frenado) y vuelve a caer en bajadas pronunciadas donde el frenado activo penaliza el ritmo.

Comparación con Naismith

La regla de Naismith (1892) es lineal: 1 hora cada 5 km en llano + 1 hora cada 600 m de desnivel positivo. Es práctica para cálculos mentales pero no contempla las bajadas (asume que añaden tiempo cero). Tobler introduce dos refinamientos críticos:

Tratamiento diferenciado (asimétrico) de subidas y bajadas: ambas cuentan, pero las bajadas suaves aumentan la velocidad y las pronunciadas la reducen, con el máximo en una ligera bajada de en torno al −5 % y no en el llano.
Continuidad matemática (función exponencial diferenciable), lo que permite integrar la fórmula sobre un perfil altimétrico continuo y obtener un tiempo total más realista.

En la práctica, la comparación depende de la pendiente: en subidas moderadas Tobler da tiempos más cortos que Naismith (diez kilómetros de subida al 10 % salen en unas 2 horas y 50 minutos frente a 3 horas y 40), mientras que en bajadas pronunciadas y en pendientes muy fuertes los da más largos, porque Naismith no cuenta las bajadas.

Implementaciones contemporáneas

Ojo con las herramientas a las que se atribuye:

QGIS y GRASS GIS calculan tiempos sobre el relieve con el módulo r.walk, pero no usa Tobler: aplica la fórmula de Aitken y Langmuir, derivada de la regla de Naismith.
OpenRouteService calcula la duración de sus rutas a pie sin tener en cuenta el desnivel; la petición para añadir tiempos realistas en montaña sigue abierta en su repositorio desde 2022.
Wikiloc, AllTrails y otras apps populares estiman tiempos con modelos propios calibrados sobre su base de tracks reales, conceptualmente emparentados con la curva velocidad-pendiente de Tobler.

Limitaciones del modelo

Tobler asume terreno desnudo y caminante medio sin carga. No incorpora:

Carga de mochila: una carga del 20-25 % del peso corporal puede aumentar el tiempo un 15-30 % adicional.
Tipo de superficie: pista forestal vs canchal vs nieve dura presentan velocidades muy diferentes a igual pendiente.
Estado físico individual: el caminante entrenado supera fácilmente la curva Tobler; el ocasional puede quedarse 20-30 % por debajo.
Paradas: avituallamiento, fotografía, descansos. Habitualmente se añade un 15-20 % adicional al tiempo Tobler para tener un tiempo "de marcha realista".

Cuándo usar Naismith y cuándo Tobler

La elección entre las dos fórmulas depende del terreno y de los datos disponibles. No hemos encontrado ningún estudio que mida su error en rutas españolas, pero el cálculo con las dos fórmulas muestra dónde divergen: diez kilómetros de subida continua al 10 % salen en unas 2 horas y 50 minutos con Tobler y en 3 horas y 40 con Naismith; una ida y vuelta de 5 + 5 kilómetros al 20 %, en 3 horas y 24 minutos frente a 3 horas y 40; al 30 %, Tobler da un 7 % más, y al 40 %, un 29 % más, porque Naismith no cuenta las bajadas.

Recomendación práctica

Usa Naismith para cálculos mentales rápidos sin app, rutas en pista o sendero firme con desniveles moderados, y para comprobar a ojo del tiempo publicado en una ficha. Tienes la calculadora Naismith con prosa explicativa para el caso general.
Usa Tobler cuando dispongas del perfil altimétrico (GPX oficial), planifiques rutas con desniveles fuertes o tramos importantes de bajada, o necesites un tiempo más fino para coordinar transporte público o cierre de refugio. La calculadora de Naismith aplica Tobler tramo a tramo y compara los dos resultados.
En ambas, añade un 15-20 % adicional sobre el tiempo bruto para incorporar paradas (avituallamiento, fotografía, lectura del mapa).

Preguntas frecuentes

Lo que más se pregunta.

¿Cómo se calcula el tiempo de una ruta con la fórmula de Tobler?

Tobler no devuelve un único número, sino una velocidad para cada pendiente, así que el cálculo se hace por tramos. Primero necesitas el perfil altimétrico de la ruta, normalmente desde un GPX oficial o leyendo el desnivel entre curvas de nivel; con él divides el recorrido en segmentos, calculas la pendiente S de cada uno y aplicas W = 6 · exp(−3,5 · |S + 0,05|) para obtener su velocidad. El tiempo de cada segmento es su distancia dividida por esa velocidad, y el total es la suma de todos.

Hacerlo a mano es tedioso, por eso conviene una herramienta que integre el perfil completo. La calculadora de Naismith aplica Tobler tramo a tramo; recuerda sumarle después un 15-20 % por paradas para llegar a un tiempo de marcha realista.

¿En qué se diferencian la regla de Naismith y la fórmula de Tobler?

La regla de Naismith, formulada en 1892, es una receta lineal: una hora por cada 5 km en llano más una hora por cada 600 m de ascenso. Es ideal para un cálculo mental rápido, pero ignora por completo las bajadas, como si descender no costara tiempo. La fórmula de Tobler, de 1993, es una función exponencial continua que asigna una velocidad distinta a cada grado de inclinación, incluidas las bajadas.

La consecuencia práctica es que Tobler reconoce algo que Naismith no ve: una bajada suave acelera la marcha, mientras que una pronunciada la frena por el esfuerzo de frenado. En perfiles con desniveles fuertes Tobler suele ajustar mejor a lo medido por GPS, mientras que Naismith sigue siendo cómodo para un vistazo rápido en pista o sendero firme.

¿Qué velocidad de marcha predice la fórmula de Tobler en subida?

La velocidad cae rápido en cuanto la pendiente se empina. En terreno llano Tobler estima unos 5 km/h (5,04 km/h exactos), pero en una subida sostenida del 10 % la cifra baja a unos 3,5 km/h, y al 20 % de pendiente apenas llega a 2,5 km/h. Es un descenso exponencial, no proporcional, lo que explica por qué los últimos metros de un repecho se hacen tan lentos.

Estos valores corresponden a un caminante medio sin carga sobre terreno firme. Un senderista entrenado los supera con facilidad y uno ocasional puede quedarse un 20-30 % por debajo, así que conviene tomar la cifra como referencia y no como promesa. Para traducir esa exigencia a una valoración de dificultad estandarizada existe el sistema MIDE.

¿Por qué según Tobler se camina más rápido en una bajada suave que en llano?

Porque la función no es simétrica respecto al llano: su máximo no está en pendiente cero, sino en una ligera bajada de en torno al −5 % (unos −2,86°), donde alcanza exactamente 6 km/h. En ese punto la gravedad ayuda a avanzar sin obligar todavía a frenar el paso, así que el cuerpo aprovecha el desnivel a favor.

A partir de ahí, si la bajada se vuelve más pronunciada, la velocidad vuelve a caer porque entra en juego el frenado activo: las piernas trabajan para no precipitarse y el ritmo se resiente. Esa asimetría, observada empíricamente sobre datos del cartógrafo Eduard Imhof, es precisamente lo que la regla de Naismith no captura.

¿Es fiable la fórmula de Tobler sobre canchal, nieve o fuera de sendero?

Conviene ser prudente, porque Tobler se calibró para un caminante medio sobre terreno firme y transitable. El propio Tobler propuso multiplicar la velocidad por 3/5 cuando se avanza fuera de sendero, y sobre pedregal, canchal o nieve blanda en la que el pie se hunde, la penalización real puede ser todavía mayor: en esos terrenos tanto Naismith como Tobler subestiman el tiempo de forma notable.

Por eso, en montaña invernal o en cualquier ruta con nieve, aludes o mal tiempo, ninguna fórmula sustituye al criterio sobre el terreno ni a la información de los servicios oficiales de montaña y protección civil. Usa la estimación como punto de partida, añade margen generoso y planifica con horarios holgados de luz y de cierre de refugio.

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